凱利公式 Kelly's Formula - 告訴你這次該賭多少

在你面前有一個對你有利的賭局:
投注後將一個硬幣向空中丟，落地時，
如果是正面朝上，你就贏得賭金的兩倍，
如果是反面朝上，你的賭金就輸掉了。
但你已經知道，這硬幣有80%的機率會正面朝上。

假設你得參加這個賭局無限多次，
而且你每次要下的賭金為你當時持有金錢的一定比例，
你會怎麼賭呢？

1。每次都全下

2。每次都下八成

3。每次都下兩成


在往下看之前，先找張紙筆記下你的選擇吧 











===============        記下你的選擇了嗎？   ==================











選1的人應該數學不錯，
因為每次都全下可以得到最高的期望值，
但是有一個問題:
即使出現正面的機率高達80%，每次都全下，必然會破產。

我們可以設想一下:
每一次丟硬幣，有20%的機率出現反面，
雖然機率不高，但丟個幾百次，總會出現一次吧
每次都全下的人，一旦遇到一次，賭金就全輸光了。
而且這賭局將進行無限多次，總會至少出現一次反面的，
因此每次都全下的人必然會破產。

凱利公式經過嚴謹的數學推導告訴我們，應該每次賭六成的賭金，
長期來說可以賺得最多。

(公式來自維基百科)

• f^*為應下注的比例；
• b為賠率，在此例為1；
• p為獲勝率，在此為0.8；
• q為落敗率，即1 - p,在此為0.2；

由公式可以計算出 f* = 0.6 ,
也就是說，每次應下注當時賭金的六成。


事實上不少人把凱利公式從賭局延伸到股票市場，
傳說連巴菲時跟葛洛斯都曾使用這個公式。
不論傳說真假，凱利公式都提供了一個客觀的方式，
幫助我們在長期的投資決定中，決定當下投資的比例。

在實際的應用上，人們常會將凱利公式建議的比例再減少一些。
而減少投注比例可以降低風險。




以下介紹原論文中的最簡單情況下的數學推導，
有興趣的人可以大概了解一下公式推導的過程:

類似上面的例子，假設賠率為1，
也就是下注1元，贏了可拿回1元，再賺1元，輸了則下注的1元就沒了。

起始賭資為V0
N次後賭資為VN 

上式中的G愈大，代表N次後賭資也愈多。

假設贏的機率為q, 輸的機率為p,
若是每次都全下，則N次後的賭資 VN 為:

因q < 1, N接近無限大時，VN 將接近0，
正如同上面的討論
。
假設每次下注的比例為 L, L < 1  (圖中公式的L為小寫，在此為同一個比例)
則:

將VN 代入上上式:

最後，我們要找到一個L，使得G的值為最大。
求最大值的過程就在此略過，因為我也看不懂。

結果得到   L = 2q - 1,
 為上面凱利公式b=1時的型式。


參考資料:
KELLY JR, J. 1956. A new interpretation of information rate. Information Theory, IRE Transactions on, 2, 185-189.


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