2013年6月1日 星期六

凱利公式 Kelly's Formula - 告訴你這次該賭多少


在你面前有一個對你有利的賭局:
投注後將一個硬幣向空中丟,落地時,
如果是正面朝上,你就贏得賭金的兩倍,
如果是反面朝上,你的賭金就輸掉了。
但你已經知道,這硬幣有80%的機率會正面朝上。

假設你得參加這個賭局無限多次,
而且你每次要下的賭金為你當時持有金錢的一定比例,
你會怎麼賭呢?

1。每次都全下

2。每次都下八成

3。每次都下兩成


在往下看之前,先找張紙筆記下你的選擇吧 











===============        記下你的選擇了嗎?   ==================











選1的人應該數學不錯,
因為每次都全下可以得到最高的期望值,
但是有一個問題:
即使出現正面的機率高達80%,每次都全下,必然會破產。

我們可以設想一下:
每一次丟硬幣,有20%的機率出現反面,
雖然機率不高,但丟個幾百次,總會出現一次吧
每次都全下的人,一旦遇到一次,賭金就全輸光了。
而且這賭局將進行無限多次,總會至少出現一次反面的,
因此每次都全下的人必然會破產。

凱利公式經過嚴謹的數學推導告訴我們,應該每次賭六成的賭金,
長期來說可以賺得最多。



(公式來自維基百科)
  • f*為應下注的比例;
  • b為賠率,在此例為1;
  • p為獲勝率,在此為0.8;
  • q為落敗率,即1 - p,在此為0.2;
由公式可以計算出 f* = 0.6 ,
也就是說,每次應下注當時賭金的六成。


事實上不少人把凱利公式從賭局延伸到股票市場,
傳說連巴菲時跟葛洛斯都曾使用這個公式。
不論傳說真假,凱利公式都提供了一個客觀的方式,
幫助我們在長期的投資決定中,決定當下投資的比例。

在實際的應用上,人們常會將凱利公式建議的比例再減少一些。
而減少投注比例可以降低風險。




以下介紹原論文中的最簡單情況下的數學推導,
有興趣的人可以大概了解一下公式推導的過程:

類似上面的例子,假設賠率為1,
也就是下注1元,贏了可拿回1元,再賺1元,輸了則下注的1元就沒了。

起始賭資為V0
N次後賭資為VN 








上式中的G愈大,代表N次後賭資也愈多。

假設贏的機率為q, 輸的機率為p,
若是每次都全下,則N次後的賭資 VN 為:







因q < 1, N接近無限大時,VN 將接近0,
正如同上面的討論

假設每次下注的比例為 L, L < 1  (圖中公式的L為小寫,在此為同一個比例)
則:




將VN 代入上上式:






最後,我們要找到一個L,使得G的值為最大。
求最大值的過程就在此略過,因為我也看不懂。

結果得到   L = 2q - 1,
 為上面凱利公式b=1時的型式。


參考資料:
KELLY JR, J. 1956. A new interpretation of information rate. Information Theory, IRE Transactions on, 2, 185-189.

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